均值不等式¶

简单不等式¶

一般不等式¶

糖水不等式：

不等式加法：

不等式减法：

不等式联立：

等式的性质​：

• \(a=a\)（自反性）
• ‌\(a=b\Rightarrow b=a\)（对称性）
• \(a=b,b=c\Rightarrow a=c\)（传递性）
• \(a=b\Rightarrow a\pm c=b\pm c,ac=bc,\frac{a}{c}=\frac{b}{c}\)（\(c\neq 0\)）（替代性）
• 替代性：如果两个对象相等，那么在任何出现它们的位置，都可以用一个替代另一个，等式仍然成立。

不等式的性质​：

• \(a>b\Rightarrow b<a\)（对称性）
• \(a>b,b>c\Rightarrow a>c\)（传递性）
• \(a>b\Rightarrow a\pm c>b\pm c\)
• \(a>b,c>0\Rightarrow ac>bc,c<0\Rightarrow ac<bc\)
• \(a>b,c>d\Rightarrow a+c>b+d\)（加法单调性）
• \(a>b>0,c>d>0\Rightarrow ac>bd\)（乘法单调性）
• \(a>b>0,n>0\Rightarrow a^n>b^n,n<0\Rightarrow a^n<b^n\)

常用技巧​：

• 减法可以转化为加法：\(a-b=a+(-b)\)，而除法可以转化为乘法：\(\frac{a}{b}=a\times \frac{1}{b}\)。
• 比较两个正数 \(a,b>0\) 的常用方法：通过做差比较 \(a-b\) 与 \(0\) 的关系；通过做商比较 \(\frac{a}{b}\) 与 \(1\) 的关系。

重要不等式¶

当且仅当 \(a=b\) 成立。

例题：证明 \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)。

对 \(ab,bc,ca\) 列出重要不等式，各式相加即可得到。

高次不等式¶

穿根法。

• 因式分解，做数轴标根。

• 偶数次不穿过数轴，结果抠点。

• 分式不等式分解因式后当做乘法（两边同乘分母的平方），扣去无意义的点。

绝对值不等式¶

如果对于任意 \(x\) 都有 \(|f(x)|<g(x)\)，则

对千绝对值不等式，更多的是分类讨论去掉绝对值，结论本身并不重要。

• 函数 \(f(x)=|x-m|+|x-n|(m<n)\) 的图像是以点 \(A(m, n-m)\)，\(B(n, n-m)\) 为折点的倒梯形；\(f(x)\) 在 \((-\infty, m]\) 上单调递减，在 \([n, +\infty)\) 上单调递增，在 \([m,n]\) 上无单调性，此时 \(f(x)\) 恒等于其最小值 \(n-m\)；\(f(x)\) 在 \(\mathbb{R}\) 上无最大值，其对称轴为 \(x=\dfrac{m+n}{2}\)。

• 当 \(m > n\) 时，\(f(x) = |x-m| - |x-n|\) 的图像是以点 \(A(n, m-n)\)，\(B(m, n-m)\) 为折点的“Z 字形”；在 \((-\infty, n]\) 上函数恒取得最大值 \(m-n\)，在 \([m, +\infty)\) 上函数恒取得最小值 \(n-m\)；函数在 \([n, m]\) 上递减，其对称中心为 \(\left(\dfrac{m+n}{2}, 0\right)\)。

• 当 \(n > m\) 时，\(f(x) = |x-m| - |x-n|\) 的图像是以点 \(A(m, m-n)\)，\(B(n, n-m)\) 为折点的“反 Z 字形”；在 \((-\infty, m]\) 上函数恒取得最小值 \(m-n\)，在 \([n, +\infty)\) 上函数恒取得最大值 \(n-m\)；函数在 \([m, n]\) 上递增，其对称中心为 \(\left(\dfrac{m+n}{2}, 0\right)\)。

\(a|x-m|+b|x-n|(m<n)\) 的图像是以 \(A(m, f(m))\)，\(B(n, f(n))\) 为折点的折线。

• 当 \(a+b>0\) 时，两端向上无限延伸，故有最小值，最小值为 \(\min\{f(m), f(n)\}\)；
• 当 \(a+b<0\) 时，两端向下无限延伸，故有最大值，最大值为 \(\max\{f(m), f(n)\}\)；
• 当 \(a+b=0\) 时，两端无限延伸且平行于 \(x\) 轴，故既有最大值又有最小值，最大值为 \(\max\{f(m), f(n)\}\)，最小值为 \(\min\{f(m), f(n)\}\)。

更复杂的，\(f(x) = |x-a_1| + |x-a_2| + \cdots + |x-a_n|\)（\(a_i \in \mathbb{R}, i, n \in \mathbb{N}^*\), 设 \(a_1 < a_2 < \cdots < a_n\)）。

• 若 \(n=2k-1(k \in \mathbb{N}^*)\)，则 \(f(x)\) 的图像是以 \((a_k, f(a_k))\) 为顶点的“V 字形”图像。

  • 当且仅当 \(x=a_k\) 时，\([f(x)]_{\min} = |(a_1 + a_2 + \cdots + a_{k-1}) - (a_{k+1} + a_{k+2} + \cdots + a_{2k-1})|\)；

  • 函数 \(f(x)\) 在 \((-\infty, a_k]\) 上单调递减，在 \([a_k, +\infty)\) 上单调递增，若 \(\{a_i\}\) 为等差数列，则图像关于 \(x=a_k\) 对称。

• 若 \(n=2k(k \in \mathbb{N}^*)\)，则 \(f(x)\) 的图像是以点 \(A(a_k, f(a_k))\), \(B(a_{k+1}, f(a_{k+1}))\) 为折点的倒梯形。

  • 当且仅当 \(x \in [a_k, a_{k+1}]\) 时，\([f(x)]_{\min} = |(a_1+a_2+\cdots+a_k) - (a_{k+1}+a_{k+2}+\cdots+a_{2k})|\)；

  • 函数 \(f(x)\) 在 \((-\infty, a_k]\) 上单调递减，在 \([a_{k+1}, +\infty)\) 上单调递增，在 \([a_k, a_{k+1}]\) 上无单调性。若 \(\{a_i\}\) 为等差数列，则函数图像关于 \(x=\dfrac{a_k+a_{k+1}}{2}\) 对称。

三角不等式¶

均值不等式¶

二元形式¶

若 \(a,b>0\)，则：

理解方式：https://www.bilibili.com/video/BV1Nf4y1G7xV。

多元形式¶

若 \(a,b>0\)，则：

当且仅当 \(x_1=x_2=\dots=x_n\) 时，等号成立。

即，对于正实数：调和平均数 ≤ 几何平均数 ≤ 算术平均数 ≤ 平方平均数。

简记为：「调几算方」。

我们称两两为 X-Y 均值不等式，例如算数-几何均值不等式：

可以进行推广，得到加权平均不等式：

其中 \(x_1,x_2,\dots,x_n>0\)，\(\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_n>0\) 且 \(\lambda_1+\lambda_2+\dots+\lambda_n=1\)。

对勾函数¶

对于定义在 \(\R-\{0\}\) 的函数

设 \(x_0\) 满足

即

不妨取正的一个解（同时 \(f(x)=f(y)\) 当且仅当 \(xy=\dfrac{b}{a}\)）。

容易知道，\(f(x)\) 在 \((0,x_0]\) 单调递减，在 \([x_0,+\infty)\) 单调递增。

在负半轴类似，同时因为在正半轴

也就是说 \(f(x)\) 的值域是 \((-\infty,-2\sqrt{ab})\cup(2\sqrt{ab},+\infty)\)。

常用变形¶

均值不等式的本质是

在 \(\R\) 上单调递增（其中 \(0\) 可去间断）。

关于 \(ab\)（\(a,b\in\R\)）：

关于 \(a^2+b^2\)（\(a,b\in\R\)）：

关于 \(a+b\)（\(a,b,\in\R_+\)）：

关于 \(\sqrt a+\sqrt b\)（\(a,b,\in\R_+\)）：

关于 \(\sqrt{ab}\)（\(a,b,\in\R_+\)）：

关于 \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\)（\(a,b,\in\R_+\)）：

关于 \(\dfrac1{\sqrt{a}}+\dfrac1{\sqrt{b}}\)（\(a,b,\in\R_+\)）：

积定和最小，和定积最小。

若缩放所得上下界有未知数，则缩放失效。

做题方法¶

基本规则¶

基本不等式的求最值一定要满足“一正、二定、三相等”，即先判定正负性，然后判断放缩后是否为定值，最后验证取等条件。

如果不是定值，通常会导致最值不在缩放的点上，我们可以复杂，对于缩放问题，就不需要是定值了。

例题：若实数 \(a,b\) 满足 \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{2}{b}=\sqrt{ab}\)，则 \(ab\) 的最小值为

我们知道

因此

当且仅当 \(b=2a\) 时取等。

利用基本不等式求函数 \(f(x)\) 的最大值通常有三种途径：

1. 直接利用均值不等式放缩成 \(f(x) \le k\)，其中 \(k\) 为常数，最后检查等号能否成立；

2. 直接利用均值不等式放缩成 \(f(x) \le g(x)\)，然后通过解不等式获得 \(f(x)\) 的范围，最后检查等号能否成立。

3. 多次利用均值不等式放缩成 \(f(x) \le g(x) \le k\)，其中 \(k\) 为常数，最后检查所有等号成立的条件是否一致。

自由变量公式：

• 自由变量的个数等千变堂的个数减去方程的个数。

• 使用基本不等式的次数等于自由变霆的个数。

一的代换¶

凑系数、换元法是最基础的方法，除此之外，我们还有妙用：

• 若已知 \(ax+by\) 为定值，求它们的倒数和 \(\dfrac{c}{x} + \dfrac{d}{y}\) 的最小值，既可以用消元的方法，也可以利用“1”的代换，但是我们推荐使用“1”的代换；

• 若已知 \(\dfrac{c}{x} + \dfrac{d}{y}\) 为定值，求和 \(ax+by\) 的最小值，既可以用消元的方法，也可以利用“1”的代换，但是我们推荐使用“1”的代换；

• 若已知 \(axy+bx+cy+d=0\)，求和 \(ex+fy\) 的最小值，如果分解因式很显然，使用“1”的代换；否则，使用消元法。

具体的，例如已知 \(ax+by=C\)，则

当 \(x,y>0\) 时，等号当且仅当 \(ad\dfrac{x}{y}=bc\dfrac{y}{x}\) 即 \(\dfrac{x}{y}=\sqrt{\dfrac{bc}{ad}}\)。

简单变形¶

最常见的方法是分母不变，其他拼凑

如果分子的次数比分母高，通常把上面的先分下来，称为分离常数。

对于积的不等式，通常用调整常数

形如 \(ab=a+b\) 的，通常转化为

加权待定¶

我们知道了 \(f(x)=\ln x\) 与 \(g(x)=\dfrac{2(x-1)}{x+1}\) 和 \(h(x)=\dfrac{1}{2}\left(x-\dfrac{1}{x}\right)\) 的关系，那么不妨讨论 \(f(x)\) 与

的关系，对 \(y=\ln x-\varphi(x)\) 求导即可，此处略。

我们知道高中常见的均值不等式链：

此处不写等号因为对数平均数部分没有办法取等。

另外还有

等形式，都可以用加权待定来理解。

• 在 \(x\in(1,+\infty)\)，

  \[ \small\frac{x-1}{x}<\frac{2(x-1)}{x+1}<\frac{3(x^2-1)}{x^2+4x+1}<\ln x<\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}<\frac{1}{2}\left(x-\frac{1}{x}\right)<x-1 \]

• 在 \(x\in(0,1)\)，

  \[ \small\frac{x-1}{x}<\frac{1}{2}\left(x-\frac{1}{x}\right)<\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}<\ln x<\frac{3(x^2-1)}{x^2+4x+1}<\frac{2(x-1)}{x+1}<x-1 \]

一些例题¶