不等式进阶¶

（二）柯西-施瓦茨不等式¶

简化形式¶

对于实数 \(a_1,a_2,b_1,b_2\)：

\[ (a_1^2+a_2^2)(b_1^2+b_2^2)\ge(a_1b_1+a_2b_2)^2 \]

证明：

\[ \begin{aligned} &a_1^2b_2^2+a_2^2b_1^2\ge 2a_1b_1a_2b_2\\ \Leftrightarrow\;&a_1^2b_1^2+a_2^2b_2^2+a_1^2b_2^2+a_2^2b_1^2\ge a_1^2b_1^2+a_2^2b_2^2+2a_1b_1a_2b_2\\ \Leftrightarrow\;&(a_1^2+a_2^2)(b_1^2+b_2^2)\ge(a_1b_1+a_2b_2)^2 \end{aligned} \]

取等条件：

\[ {a_1\over b_1}={a_2\over b_2} \]

一般形式¶

对于实数序列 \(a,b\)：

\[ \sum_{i=1}^na_i^2\sum_{i=1}^nb_i^2\ge\left(\sum_{i=1}^na_ib_i\right)^2 \]

证明：

\[ \begin{aligned} &\sum_{i=1}^na_i^2\sum_{i=1}^nb_i^2-\left(\sum_{i=1}^na_ib_i\right)^2\\ =\;&\sum_{1\le i<j\le n}(a_ib_j-a_jb_i)^2 \end{aligned} \]

上式即拉格朗日恒等式，可知其 \(\ge0\) 且取等条件为：

\[ {a_1\over b_1}={a_2\over b_2}=\dots={a_n\over b_n} \]

物理证明¶

转自：https://www.zhihu.com/question/359244589/answer/3440897794。

光滑桌子（\(\mu=0\)）上面放着若干个质量不一的薄板，其中间的摩擦因数不为零（\(\mu\neq0\)）。

设其质量分别为 \(m_1,m_2,\dots,m_n\)，给他们一个互异的初速度 \(v_1,v_2,\dots,v_n\)。

根据能量守恒定律，经过有限的时间后，它们必定会趋于同一个速度，设为 \(v_f\)。

那么，根据动量守恒定律和功能关系：

\[ \begin{aligned} m_1v_1+m_2v_2+\dots+m_nv_n&=m_1v_f+m_2v_f+\dots+m_nv_f\\ {1\over2}m_1v_1^2+{1\over2}m_2v_2^2+\dots+{1\over2}m_nv_n^2&\ge {1\over2}m_1v_f^2+{1\over2}m_2v_f^2+\dots+{1\over2}m_nv_f^2 \end{aligned} \]

化简、移项，得到：

\[ \begin{aligned} v_f={\sum m_iv_i\over\sum m_i}\\ \sum(m_iv_i^2)\ge(\sum m_i)v_f^2 \end{aligned} \]

上式带入下式，得：

\[ \sum(m_iv_i^2)\ge{(\sum m_iv_i)^2\over\sum m_i} \]

再移项，得：

\[ \sum(m_iv_i^2)\sum m_i\ge(\sum m_iv_i)^2 \]

我们取 \(m\to a^2\)，\(v\to b/a\)，即：

\[ \sum{a_i^2}\sum{b_i^2}\ge(\sum{a_ib_i})^2 \]

取等条件为 \(v_i=v_g\)，即初始就共速，则：

\[ {b_1\over a_1}={b_2\over a_2}=\dots={b_n\over a_n} \]

即柯西不等式（当然这个结论比柯西不等式弱一些）。

（三）排序不等式¶

基本形式¶

对于非严格单调递增（或递减）的实数序列 \(x,y\)，另 \(\sigma(i)\) 表示 \(1\sim n\) 的任意一个排列，有，

\[ x_1y_1+\dots+x_ny_n\ge x_{\sigma(1)}y_1+\dots+x_{\sigma(n)}y_n\ge x_ny_1+\dots+x_1y_n \]

顺序和不小于乱序和，乱序和不小于逆序和；取等为 \(x,y\) 分别两两相等。

排序不等式不限正负，证明可以归纳法。

其他不等式¶

伯努利不等式¶

若 \(x_1,x_2\dots,x_n\ge-1\) 且 \(x_2,x_2,\dots,x_n\) 同号，则

\[ (1+x_1)(1+x_2)\dots(1+x_n)\ge1+x_1+x_2+\dots+x_n \]

权方和不等式¶

设 \(a_1,a_2,\cdots,a_n>0，b_1,b_2,\cdots,b_n>0，r\in\mathbb{R}\)，则

当 \(r\ge0\)，或 \(r\le-1\) 时，有

\[ \frac{a_1^{r+1}}{b_1^{r}}+\frac{a_2^{r+1}}{b_2^{r}}+\cdots+\frac{a_n^{r+1}}{b_n^{r}}\ge\frac{(a_1+a_2+\cdots+a_n)^{r+1}}{(b_1+b_2+\cdots+b_n)^{r}}。 \]
当 \(-1<r<0\) 时，有

\[ \frac{a_1^{r+1}}{b_1^{r}}+\frac{a_2^{r+1}}{b_2^{r}}+\cdots+\frac{a_n^{r+1}}{b_n^{r}}\le\frac{(a_1+a_2+\cdots+a_n)^{r+1}}{(b_1+b_2+\cdots+b_n)^{r}}。 \]

杨格不等式¶

若 \(a,b>0，p>1，\dfrac{1}{p}+\dfrac{1}{q}=1\)，则有

\[ ab\le\dfrac{1}{p}a^{p}+\dfrac{1}{q}b^{q}。 \]

本页面最近更新：正在加载中，更新历史。
编辑页面：在 GitHub 上编辑此页！
本页面贡献者：RainPPR。