均值不等式¶

不等式形式¶

二元形式¶

若 \(a,b>0\)，则：

\[ \dfrac{2}{\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}}\le\sqrt[2]{ab}\le\dfrac{a+b}{2}\le\sqrt[2]{\dfrac{a^2+b^2}{2}} \]

理解方式：https://www.bilibili.com/video/BV1Nf4y1G7xV。

多元形式¶

若 \(a,b>0\)，则：

\[ \begin{aligned} H_n&\le&G_n&\le&A_n&\le&Q_n\\ \frac{n}{\sum_{i=1}^n{1\over x_i}}&\le&\sqrt[n]{\textstyle\prod_{i=1}^nx_i}&\le&\frac{\sum_{i=1}^nx_i}{n}&\le&\sqrt[2]{\frac{\sum_{i=1}^nx_i^2}{n}} \end{aligned} \]

当且仅当 \(x_1=x_2=\dots=x_n\) 时，等号成立。

即，对于正实数：调和平均数 ≤ 几何平均数 ≤ 算术平均数 ≤ 平方平均数。

简记为：「调几算方」。

我们称两两为 X-Y 均值不等式，例如算数-几何均值不等式：

\[ \sqrt[n]{x_2x_2\dots x_n}\le\dfrac1n(x_1+x_2+\dots+x_n) \]

可以进行推广，得到加权平均不等式：

\[ x_1^{\lambda_1}x_2^{\lambda_2}\dots x_n^{\lambda_n}\le\lambda_1x_1+\lambda_2x_2+\dots+\lambda_nx_n \]

其中 \(x_1,x_2,\dots,x_n>0\)，\(\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_n>0\) 且 \(\lambda_1+\lambda_2+\dots+\lambda_n=1\)。

常用变形¶

若 \(a,b>0\)，则：

\[ a+b\ge2\sqrt{ab} \]

\[ ab\le\dfrac{(a+b)^2}{4} \]

即「积定和最小，和定积最小」。

常见技巧¶

代换法¶

代换「\(1\)」，即表示 \(1=a+(1-a)=\dfrac{x}{x}\) 一类的形式，然后将原式乘上这个「\(1\)」，化简计算。

代换「\(0\)」，即表示 \(0=a-a\) 一类的形式，然后将原式减去这个「\(0\)」，化简计算。

和积共存¶

一、化简、凑形式

因式分解或公式一类。

二、将原式转化为关于要求的式子

若正实数 \(x\)、\(y\) 满足 \(x^2+y^2+xy=1\)，求 \(x+y\) 的最大值。

化简，\(x^2+y^2+2xy=1+xy\)，\((x+y)^2=1+xy\le1+\dfrac{(x+y)^2}{4}\)。

即 \(\dfrac{3}{4}(x+y)^2\le1\)，\(x+y\le\dfrac{2\sqrt3}{3}\)。

三、换元

对于根号下的式子，一般带上根号设未知数。

若正数 \(x\)、\(y\) 满足 \(2x+y+6=xy\)，求 \(xy\) 的最小值。

化简，\(xy=2x+y+6\ge2\sqrt{2xy}+6=2\sqrt2\sqrt{xy}+6\)。

设 \(y=\sqrt{xy}\)，则 \(t^2\ge2\sqrt2t+6\)，即 \(t^2-2\sqrt2t-6\ge0\)。

解得 \(t\ge3\sqrt2\)，\(xy=t^2\ge18\)。

四、轮换对称

轮换对称的形式，即将 \(x\)、\(y\) 互换，形式不变。

轮换对称的形式，一般取最大、最小值时是 \(x=y\) 的形式。

例题¶

一、已知 \(a,b>0\) 且 \(ab=1\)，求 \(\dfrac{1}{2a}+\dfrac{1}{2b}+\dfrac{8}{a+b}\) 的最小值。

化简，\(\dfrac{1}{2a}+\dfrac{1}{2b}+\dfrac{8}{a+b}=\dfrac{a+b}{2ab}+\dfrac{8}{a+b}=\dfrac{a+b}{2}+\dfrac{8}{a+b}\ge4\)。

取等条件为 \(\dfrac{a+b}{2}=\dfrac{8}{a+b}\)，即 \((a+b)^2=16\)，可以取到。

二、已知 \(a,x>0\) 且 \(a+\dfrac{x}{a+1}\) 的最小值是 \(5\)，求 \(x\)。

化简，\(a+\dfrac{x}{a+1}=(a+1)+\dfrac{x}{a+1}-1\ge2\sqrt{x}-1=5\)，则 \(x=9\)。

取等条件为 \(a+1=\dfrac{x}{a+1}\)，即 \((a+1)^2=x=9\)，可以取到。

三、已知 \(x,y\in\mathbb R\) 且 \(5x^2y^2+y^4=1\)，求 \(x^2+y^2\) 的最小值。

化简，\(1=y^2(5x^2+y^2)=\dfrac{1}{4}\cdot4y^2(5x^2+y^2)\le\dfrac{(5x^2+5y^2)^2}{16}\)。

即 \((x^2+y^2)^2\ge\dfrac{16}{25}\)，则 \(x^2+y^2\ge\dfrac{4}{5}\)。

四、已知 \(a,b,c\in\mathbb R^+\)，证明：\(\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{c}+\dfrac{c^2}{a}\ge a+b+c\)。

整理：

\[ \begin{aligned} \dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{c}+\dfrac{c^2}{a}\ge a+b+c\\ (\dfrac{a^2}{b}+b)+(\dfrac{b^2}{c}+c)+(\dfrac{c^2}{a}+a)\ge 2a+2b+2c\\ \dfrac{a^2}{b}+b\ge2a,\dfrac{b^2}{c}+c\ge2b,\dfrac{c^2}{a}+a\ge2c\space\square. \end{aligned} \]

当且仅当 \(a=b=c\) 时，取到等号。

五、已知 \(a,b,c\in\mathbb R^+\) 且不全相等，证明：\(a+b+c>\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\)。

整理：

\[ \begin{aligned} a+b\ge2\sqrt{ab},b+c\ge2\sqrt{bc},c+a\ge2\sqrt{ca}\\ 2a+2b+2c\ge2\sqrt{ab}+2\sqrt{bc}+2\sqrt{ca}\\ a+b+c\ge\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca} \end{aligned} \]

因为 \(a,b,c\) 不全相等，则取不到等号。\(\square.\)

六、已知 \(a,b,c\in\mathbb R^+\)，证明：\(\dfrac{1}{2a}+\dfrac{1}{2b}+\dfrac{1}{2c}\ge\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\)。

整理：

\[ \begin{aligned} \dfrac{2}{\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}}\le\dfrac{a+b}{2},\dfrac{4}{a+b}\le\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b},\dfrac{1}{a+b}\le\dfrac{1}{4a}+\dfrac{1}{4b}\\ \dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\le\dfrac{1}{2a}+\dfrac{1}{2b}+\dfrac{1}{2c}\space\square. \end{aligned} \]

当且仅当 \(a=b=c\) 时，取到等号。

加权待定¶

我们上面知道了 \(f(x)=\ln x\) 与 \(g(x)=\dfrac{2(x-1)}{x+1}\) 和 \(h(x)=\dfrac{1}{2}\left(x-\dfrac{1}{x}\right)\) 的关系，那么不妨讨论 \(f(x)\) 与

\[ \varphi(x)=\lambda g(x)+(1-\lambda)h(x) \]

的关系，对 \(y=\ln x-\varphi(x)\) 求导即可，此处略。

我们知道高中常见的均值不等式链：

\[ \dfrac{2ab}{a+b}<\sqrt{ab}<\dfrac{a-b}{\ln a-\ln b}<\dfrac{a+b}{2}<\sqrt{\dfrac{a^2+b^2}{2}}<\dfrac{a^2+b^2}{a+b} \]

此处不写等号因为对数平均数部分没有办法取等。

另外还有

\[ \dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{a^2+b^2}{a+b}+\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{2ab}{a+b} \]

\[ \dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{a+b}{2}+\dfrac{1}{3}\cdot\sqrt{ab} \]

\[ \dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{a+b}{2}+\dfrac{2}{3}\cdot\sqrt{ab} \]

等形式，都可以用加权待定来理解。

在 \(x\in(1,+\infty)\)，

\[ \small\frac{x-1}{x}<\frac{2(x-1)}{x+1}<\frac{3(x^2-1)}{x^2+4x+1}<\ln x<\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}<\frac{1}{2}\left(x-\frac{1}{x}\right)<x-1 \]
在 \(x\in(0,1)\)，

\[ \small\frac{x-1}{x}<\frac{1}{2}\left(x-\frac{1}{x}\right)<\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}<\ln x<\frac{3(x^2-1)}{x^2+4x+1}<\frac{2(x-1)}{x+1}<x-1 \]

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