多项式¶

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因式分解¶

形如：

\[ f(x)=a_0+a_1x+\dots+a_nx^n \]

的称为多项式，有性质，若 \(f(a)=0\)，则 \(f(x)\) 一定可以分解成：

\[ f(x)=(x-a)g(x) \]

其中 \(g(x)\) 是比 \(f(x)\) 低一次的多项式。

泰勒展开¶

14 世纪，马德哈瓦最早使用了泰勒级数以及相关的方法。尽管他的数学著作没有流传下来，但后来印度数学家的著作表明他发现了一些特殊的泰勒级数，这些级数包括正弦、余弦、正切、和反正切三角函数等等。之后，喀拉拉学派在他的基础上进行了一系列的延伸与合理逼近，这些工作一直持续到 16 世纪。到了 17 世纪，詹姆斯·格雷果里同样继续着这方面的研究并且发表了若干麦克劳林级数。但是直到 1715 年，布鲁克·泰勒提出了一个通用的方法来构建适用于所有函数的此类列级数。这就是后来被人们所熟知的泰勒级数。麦克劳林级数是泰勒级数的特例，是爱丁堡大学的科林·麦克劳林教授在 18 世纪发表的，并以其名字命名。

以直代曲

以直代曲可以用于计算一部分函数近似值，例如计算 \(\sqrt{9.05}\)。

我们知道，对于 \(f(x)=\sqrt{x}\)，有 \(f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\)。

也就是说：\(f(9)=3,f'(9)=\dfrac{1}{6}\)，我们取 \(\Delta x=0.05\)，得到：

\[ \dfrac{1}{6}=\dfrac{f(9.05)-3}{0.05} \]

解得，

\[ f(9.05)\approx3.008 \]

泰勒展开与这种思想非常类似。

设 \(n\) 是一个正整数，如果定义在一个包含 \(a\) 的区间上的函数在 \(a\) 点 \(n+1\) 次可导，那么对于这个区间上的任意 \(x\) 都有：

\[ f(x)=f(a)+\dfrac{f'(a)}{1!}(x-a)+\dfrac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+\dots+\dfrac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n+R_n(x) \]

其中的多项式称为函数在 \(a\) 处的泰勒展开式，剩余的 \(R_n(x)\) 是泰勒展开式，是 \((x-a)^n\) 的高阶无穷小 \(\mathrm{o}[(x-a)^n]\)。

\[ e^x=1+x+\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^3}{3!}+\dfrac{x^4}{4!}+\dots+\dfrac{x^n}{n!} \]

\[ \ln(x+1)=x-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{x^4}{4}+\dfrac{x^5}{5}+\dots+(-1)^{n+1}\dfrac{x^n}{n} \]

\[ \sin x=x-\dfrac{x^3}{3!}+\dfrac{x^5}{5!}-\dfrac{x^7}{7!}+\dots+(-1)^n\dfrac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} \]

\[ \cos x=1-\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^4}{4!}-\dfrac{x^6}{6!}+\dots+(-1)^n\dfrac{x^{2n}}{(2n)!} \]

根据这些可以得到一些经典的不等式：

\[ \boxed{e^x\ge\dfrac{1}{2}x^2+x+1},x\ge0 \]

\[ \boxed{e^x\ge x^2+1>x^2},x\ge0 \]

\[ \boxed{\ln x\le\dfrac{x}{e}},x>0 \]

\[ \boxed{\ln x\le x^2-x},x>0 \]

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