动力学模型¶

晾衣绳模型¶

等腰三角形、晾衣杆问题，特征为动滑轮通过刚性轻绳固定，有公式：

\[ F=\dfrac{G}{2\cos\theta} \]

特征；\(F\) 仅与 \(\theta\) 有关，上下移动绳子端点力不变，端点水平靠近拉力下降、远离拉力上升。

物体的平衡可以分为稳定平衡、不稳定平衡和随遇平衡三种。

弹簧突变¶

因为弹簧的弹力无法突变，因此我们：

受力分析初状态，得出弹簧弹力。
把弹簧弹力当做外力，重新受力分析。

沿绳方向速度、受力大小一定相等。

斜面模型¶

斜面模型「物体是否会下滑」，设斜面与水平面夹角为 \(\theta\)：

受力分析，得 \(G_x=mg\sin\theta\)，\(f=\mu mg\cos\theta\)。

若物体下滑：\(G_x>f \Rightarrow G_x/f>1 \Rightarrow \tan\theta/\mu>1 \Rightarrow \tan\theta>\mu\)。
同理，若物体静止不动，\(G_x\le f \Rightarrow \tan\theta\le\mu\)。

即，若 \(\tan\theta>\mu\)，物体会下滑。

同时也可以根据此探究动摩擦因数 \(\mu=\arctan\theta\)。

直角劈模型¶

注意物体的位置应该在惯性系中表示，否则应用牛顿定律会产生麻烦。

根据已知常量列出方程，例如绳长不变，绳子切面速度相同，以及对应的加速度关系。

典例是直角劈模型，有 \(\theta\) 角度的直角劈，一木块放在上面，则：

其中 \(V\) 和 \(A\) 为劈的速度和加速度，\(x\) 为木块相对参考系的水平位移，\(X\) 为木块相对参考系的水平位移，\((h-y)\) 为木块滑下的竖直高度：

\[ \begin{aligned} (x-X)=(h-y)\cot\theta\\ v_x-V=-v_y\cot\theta\\ a_x-A=-a_y\cot\theta \end{aligned} \]

上式从上到下，实为对方程两边做一次时间变化率，常数项忽略，常数系数不变。

注意：约束方程与作用力无关，各接触面有无摩擦不影响约束方程。

狭义连接体模型¶

整体法可求得加速度。

隔离法可求得压力／绳子拉力，也可以整体一部分物体。

如果绳子是弯的，那么直接两次隔离把力约掉算加速度。

可以得出，绳子拉力与斜面夹角、摩擦因数均无关：

\[ T=\dfrac{m_1}{m_1+m_2}F \]

这个公式可以成为连接体的质量分配原则，其中 \(1\) 是绳子没有直接拉着的那个物体。

推广：如果两个物体两侧分别拉着（\(F_1\) 拉质量为 \(m_1\) 的物体，\(F_2\) 对于 \(m_2\)）：

\[ T=\dfrac{F_1m_2+F_2m_1}{m_1+m_2} \]

即总是一个力乘上没有直接连接的物体。

等时圆模型¶

质点自半径为 \(R\) 的空心球（对于平面而言是圆环）的最高点由静止开始无摩擦地沿任一弦下滑至球面（或圆环），所需时间相等，且等于：

\[ \sqrt{\dfrac{4R}{g}} \]

证明：

设下滑的弦与法线的夹角为 \(\beta\)，则弦长：

\[ l=2R\cos\beta \]

沿弦方向加速度为：

\[ a=g\cos\beta \]

列运动学方程：

\[ \begin{aligned} l&=\dfrac{1}{2}at^2\\ 2R\cos\beta&=\dfrac{1}{2}(g\cos\beta)t^2 \end{aligned} \]

易得 \(t\) 与 \(\beta\) 无关，且：

\[ t=\sqrt{\dfrac{4R}{g}} \]

经典例题：

一小球从角度为 \(\alpha\) 的斜面上某一点的上方 \(l\) 处沿某一直线无摩擦的滑下，问落到斜面上的最短时间。

由上面的结论，最佳下落线与法线的夹角 \(\theta=\alpha/2\)。

易知，该圆的直径（\(Q\) 为圆与斜面的切点，\(H\) 为最高点到斜面的垂足）：

\[ 2R=\dfrac{OQ}{\cos\theta}=\dfrac{OH}{\cos^2\theta}=\dfrac{l\cos\alpha}{\cos^2(\alpha/2)} \]

则：

\[ R=\dfrac{l\cos\alpha}{1+\cos\alpha} \]

则最短时间：

\[ t=\sqrt{\dfrac{4R}{g}}=2\sqrt{\dfrac{l\cos\alpha}{g(1+\cos\alpha)}} \]

等时圆的构造：

设定一点为最高点或最低点即可，根据几何关系得到距离圆心的距离。

最速降线问题¶

在平面内，\(B\) 点在 \(A\) 右下，自 \(A\) 静止释放一个小球，运动到 \(B\) 点的最短时间。

伯努利（哥哥和弟弟分别）证明了最速降线是一条摆线。

传送带和板块模型¶

例题１：质量为 \(2\text{kg}\) 的物体沿光滑斜面下滑，斜面与水平面的夹角为 \(37^\circ\)，求木块的加速度。

列式：

\[ \begin{cases} F_r&=ma\\ F_r&=G\sin37^\circ\\ G&=mg\\ m&=2\text{kg} \end{cases} \]

解得：

\[ \begin{cases} m&=2&\text{kg}\\ G&=20&\text{N}\\ F_r&=12&\text{N}\\ a&=6&\text{m/s}^2\\ \end{cases} \]

所以，加速度为 \(6\text{m/s}^2\)，方向沿斜面向下。

例题２：质量为 \(2\text{kg}\) 的物体沿斜面下滑，斜面的摩擦因数为 \(0.2\)，斜面与水平面的夹角为 \(37^\circ\)，求木块的加速度。

列式：

\[ \begin{cases} F_r&=ma\\ F_r&=G\sin37^\circ-f\\ f&=\mu N\\ N&=G\cos37^\circ\\ G&=mg\\ m&=2\text{kg} \end{cases} \]

解得：

\[ \begin{cases} m&=2&\text{kg}\\ G&=20&\text{N}\\ N&=16&\text{N}\\ f&=3.2&\text{N}\\ F_r&=8.8&\text{N}\\ a&=4.4&\text{m/s}^2\\ \end{cases} \]

所以，加速度为 \(4.4\text{m/s}^2\)，方向沿斜面向下。

例题３：质量为 \(2\text{kg}\) 的物体静止于水平面的 \(A\) 处，\(AB\) 间距 \(L=20\text{m}\)，如图：

\[ \begin{matrix} \underline{\kern{1em}\Box\kern{7em}\Box\kern{1em}}\\[-0.8em] \cdot\kern{7.5em}\cdot\\[-0.4em] {\small{A}}\kern{7em}{\small{B}} \end{matrix} \]

现用大小为 \(30\text{N}\) 的力，沿水平方向拉物体，\(2\text{s}\) 后到达 \(B\) 处。

求物体与地面的摩擦因数 \(\mu\)。

解：

对物体 \(A\) 受力分析：

\[ \begin{cases} F_r&=F-f\\ N&=G \end{cases} \]

展开：

\[ \begin{cases} ma&=F-\mu N\\ N&=mg \end{cases} \]

得到方程组：

\[ \begin{cases} x&=\dfrac{1}{2}at^2\\ ma&=F-\mu mg \end{cases} \]

代数，得：

\[ \begin{cases} 20\text{m}&=\dfrac{1}{2}a\cdot(2\text{s})^2\\ 2\text{kg}\cdot a&=30\text{N}-\mu\cdot20\text{N} \end{cases} \]

解得：

\[ \begin{cases} a&=10\text{m/s}^2\\ \mu&=0.5 \end{cases} \]

即 \(\mu=0.5\)。

传送带模型¶

加速度：

\[ a=g\sin\theta\pm\mu g\cos\theta \]

表示重力下滑分量和滑动摩擦力的作用。

假设可以共速静止，比较 \(\tan\theta\) 和 \(\mu\)。

判断共速时的位与和传送带长度之间的关系。

善用 \(v-t\) 图像。

一板一物模型¶

地面光滑：

木板有初速度。
木板无初速度。

地面不光滑：

木板有初速度。
木板无初速度。

详见 TC 课件内容。

叠加体相对静止¶

广义连接体，指不用绳子连接的连接体，常见的有用静摩擦力、刚体弹力提供的。

叠加体相对静止，可以看为是由摩擦力提供拉力的连接体模型，因此下面的步骤也非常相似。

整体法可求得加速度。

隔离法可求得摩擦力，也可以整体一部分物体。

可以得出，摩擦力与斜面夹角无关，与摩擦因数有关：

\[ f=\dfrac{m_1}{m_1+m_2}F-\mu mg\cos\theta \]

若斜面是水平面（\(\theta=0\)），那么 \(\cos\theta=1\)：

\[ f=\dfrac{m_1}{m_1+m_2}F-\mu mg \]

同样也类似质量分配原则，其中 \(1\) 是力没有直接作用在的那个物体。

叠加体相对滑动¶

找到不受外力的物体，即可能会发生相对滑动的物体，
隔离法，求出这个物体的最大加速度，
整体法，求出最大的外力大小。

形式一：拉着下面的 \(M\) 走，其上表面 \(\mu_1\)、下表面 \(\mu_2\)：

\[ F=(m+M)(\mu_1+\mu_2+\tan\theta)g\cdot\cos\theta \]

若斜面是水平面（\(\theta=0\)），那么 \(\cos\theta=1,\tan\theta=0\)：

\[ F=(m+M)(\mu_1+\mu_2)g \]

形式二：拉着上面的 \(m\) 走，其下 \(M\) 上表面 \(\mu_1\)、下表面 \(\mu_2\)：

\[ F=\dfrac{m}{M}(m+M)(\mu_1-\mu_2)g\cdot\cos\theta \]

若斜面是水平面（\(\theta=0\)），那么 \(\cos\theta=1\)：

\[ F=\dfrac{m}{M}(m+M)(\mu_1-\mu_2)g \]

注意此形式下，需要上物体能拉动下物体，拉不动的话就更简单了。

启动模型¶

解题方法¶

对（物体），做（运动段），如图（受力分析），列（平衡／牛二）。

\[ \begin{aligned} F_{\text{合}}=ma&=F-f\\ F&=\frac{P}{v} \end{aligned} \]

得出（一定要受力分析）：

\[ \begin{aligned} F&=f+ma\\ ma&=\frac{P}{v}-f \end{aligned} \]

恒定功率启动¶

随着汽车的加速，

\(v\) 增大，\(P\) 不变，\(F\) 减小，\(F_r\) 减小；
\(m\) 不变，\(a\) 减小，\(v\) 变化放缓。
直至 \(F=f\)，汽车匀速运动。

即汽车加速到一定程度后，汽车将保持匀速运动。

恒定加速度启动¶

按照时间顺序：

\(a\) 不变，\(m\) 不变，\(f\) 不变，\(F\) 不变；
\(v\) 增大，\(P\) 增大，汽车持续增速；
汽车增速到一定程度后，\(P\) 无法继续增大：
此时 \(P\) 恒定，故进行恒定功率启动式的加速。

做题思路¶

对匀速运动状态分析：平衡 \(F=f\)；
对匀加速末状态分析：牛二 \(ma=P/v-f\)；
对加速阶段状态分析：牛二 \(ma=P/v-f\)。

F-1/v 图像¶

按照时间，从右往左，因为汽车速度增大，倒数减小。

牵引力为水平直线的：匀加速运动。
牵引力逐渐下降的：加速度逐渐减小。
牵引力端点位置：最终状态匀速直线运动。

做题方法：同上，一定要分析的是拐点和端点处的受力分析。