数系与复数¶

虚数与复数¶

虚数定义¶

虚数 \(i\) 为一个定义为

\[ i^2+1=0 \]

的一个解，其满足上式的性质，又可表示为，

\[ i^2=-1 \]

虽然没有这样的实数可以满足这个二次方程，但可以通过虚数单位将实数系统 \(\mathbb R\) 延伸至复数系统 \(\mathbb C\)。延伸的主要动机为有很多实系数多项式方程式无实数解，可是倘若我们允许解答为虚数，那么这方程式以及所有的多项式方程式都有解。

我们回到原问题，

\[ x^2+1=0 \]

存在两个根，分别为，\(i\) 和 \(-i\)，它们都是有效的，且互为共轭虚数及倒数。

这是因为，虽然 \(i\) 和 \(-i\) 在数量上不是相等的（它们是一对共轭虚数），

但是 \(i\) 和 \(-i\) 之间没有质量上的区别（\(-1\) 和 \(+1\) 就不是这样的）。

在任何的等式中同时将所有 \(i\) 替换为 \(-i\)，该等式仍成立。

\[ -i^2=1,-i={1\over i} \]

例题：考虑 \(-5\) 的平方根。

\[ x^2+5=0\\ x=\pm\sqrt5 i \]

另外，虚数单位同样可以表示为，

\[ i=\sqrt{-1} \]

但是我们对负数开根号没有自然的定义，因此我们也可以定义，

\[ i=-\sqrt{-1} \]

因此，这往往被认为是错的，因为，

\[ -1=i^2=\sqrt{-1}\times\sqrt{-1}=\sqrt{(-1)> \times(-1)}=1\\ -1=i^2=\pm\sqrt{-1}\times\pm\sqrt{-1}=\pm1 \]

这是显然不对的，因为 \(\sqrt a\cdot\sqrt b=\sqrt{ab}\) 需要满足 \(a,b>0\)。

使用这种记法时需要非常谨慎，有些在实数范围内成立的公式在复数范围内并不成立。

但是我们也可以总结出一些有意义的法则，对于负数 \(x\)，

\[ \sqrt x=\sqrt{-x}i \]

例如，

\[ \sqrt{-7}=\sqrt7 i \]

或者说，对于正数 \(y\)，

\[ \sqrt{-y}=\sqrt yi \]

因为，

\[ (\sqrt{-y})^2=-y \]

成立，这是良好定义的。

对于虚数，存在与实数不同的一些运算法则，对于负数 \(x,y\)，

\[ \sqrt x\sqrt y=\sqrt{-x}i\times\sqrt{-y}i=-\sqrt{xy} \]

\[ {\sqrt x\over\sqrt y}={\sqrt{-x}i\over\sqrt{-y}i}=\sqrt{-x\over-y} \]

不同的虚数都是不能比较大小的，因此虚数也没有正负（但是存在记号）。

如果再将虚数的这个概念扩展开去，就可以组成四元数、八元数等特殊数学范畴。

复数定义¶

复数，为实数的延伸，它使任一多项式方程都有根。

形式上，复数系统可以定义为普通实数的虚数 \(i\) 的代数扩展。

复数通常写为如下形式：

\[ z=a+bi \]

这里的 \(a\) 和 \(b\) 是实数，而 \(i\) 是虚数单位，

实数 \(a\) 叫做复数的实部，记为 \(\Re(z)\) 或 \(\operatorname{Re} z\)。
实数 \(b\) 叫做复数的虚部，记为 \(\Im(z)\) 或 \(\operatorname{Im} z\)。

我们有额外定义，

实部为零且虚部不为零的复数也被称作「纯虚数」，即 \(0+bi\)。
而实部不为零且虚部也不为零的复数也被称作「非纯虚数」或「杂虚数」。

而实数可以被认为是虚部为零的复数，就是说实数 \(a\) 等价于复数 \(a+0i\)。

所有复数的集合通常指示为 \(\mathbb C\)（黑板粗体），实数 \(\mathbb R\) 可以被当作 \(\mathbb C\) 的子集。

我们有很多虚数中类似的性质，比如继承虚数的不可比大小，只可比相等为，

两个复数是相等的，当且仅当它们的实部是相等的并且它们的虚部是相等的。

二元运算¶

当计算一个表达式时，只需假设 \(i\) 是一个未知数，替代 \(i^2\) 为 \(-1\) 即可。

对于 \(i\) 的更高整数次幂，可以按照如下规则替换，

\[ i^2=-1\\ i^3=i^2\times i=-i\\ i^4=i^3\times i=-i^2=1\\ i^5=i^4\times i=i \]

我们归纳为，

\[ \begin{aligned} i^0&=1\\ i^1&=i\\ i^2&=-1\\ i^3&=-i\\ i^n&=i^{n\bmod 4} \end{aligned} \]

由此，可以很好的定义虚数的负指数次方。

我们继续继承虚数的性质，将 \(i\) 仅仅看为未知数，用上文的替代即可。

容易发现，复数的运算类似于多项式的运算，有：

\[ (a+bi)\pm(c+di)=(a+c)\pm(b+d)i \]

\[ (a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i \]

除法暂不了解。容易推导，复数运算存在，

性质	公式	公式
封闭性	\(a+b \in \mathbb{C}\)	\(a \times b \in \mathbb{C}\)
结合律	\(a + (b+c) = (a+b)+c\)	\(a \times (b \times c) = (a \times b) \times c\)
交换律	\(a+b=b+a\)	\(a \times b=b \times a\)
存在单位元	\(a+0=a\)	\(a \times 1 = a\)
存在逆元	\(a+(-a)=0\)	\(a \times (1/a) = 1, (a \ne 0)\)

另外还有分配律：\(a \times (b+c) = a \times b + a \times c\)。

因此，复数数系是一个域，

复数可定义为实数 \(a,b\) 组成的有序对，

\((a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)\).
\((a,b)\times(c,d)=(ac-bd,bc+ad)\).
加法单位元（零元）：\((0,0)\).
乘法单位元（幺元）：\((1,0)\).
\((a,b)\) 的加法逆元：\((-a,-b)\).

复数开根¶

我们有，

\[ \sqrt i={1+i\over\sqrt2}={\sqrt2\over2}(1+i) \]

因为，两边平方，

\[ 2i=i^2+2i+1=2i \]

在此仅做补充，

\[ \sin i={e^2-1\over2e}i \]

\[ \cos i={e^2+1\over2e} \]

补充：在某些学科中，也用 \(j\) 表示虚数单位，避免与电流 \(i(t)\) 混淆。

容易知道，\(1\) 的 \(n\) 次方根就是将单位圆均分为 \(n\) 份，也就是

\[ \xi_k=\cos\dfrac{2k\pi}{n}+i\sin\dfrac{2k\pi}{n},k\in\{0,1,\dots,n-1\} \]

我们称 \(\xi_0,\xi_1,\dots,\xi_{n-1}\) 为 \(n\) 次单位根，由定义都满足 \(\xi_i^n=1\)

其中 \(\xi_0=1\)，也就是实数情况下的平凡解。

根据恒等式：

\[ x^n-1=(x-1)\big(x^{\,n-1}+x^{\,n-2}+\cdots+1\big) \]

只要 \(k\ne 0\)，就有 \(\xi_k\ne 1\)，这样，

\[ 0=\xi_k^{\,n}-1=(\xi_k-1)\big(\xi_k^{\,n-1}+\xi_k^{\,n-2}+\cdots+1\big) \]

得到

\[ \xi_k^{\,n-1}+\xi_k^{\,n-2}+\cdots+1=0 \]

特别地，令 \(k=1\)，得到

\[ \xi^{\,n-1}+\xi^{\,n-2}+\cdots+1=0 \]

由 \(\xi_k=\xi^k\)，这个式子用求和符号表示就是

\[ \sum_{k=0}^{n-1}\xi_k=0 \]

复平面¶

在几何上，我们：

将平面直角坐标系的水平轴（x-axis）用于实部，垂直轴（y-axis）用于虚部，

则，虚数 \(a+bi\) 对应的点就是 \((a,b)\)；虚部为零的复数可以看作是实数。

容易发现，这一操作是更加直观的将实数数值拓展的过程，我们称为复平面。

复平面有时也叫做阿尔冈平面，因为它用于阿尔冈图中。

注意到，我们这么表示出来的复数的点，也可以用位置向量 \(\overrightarrow{OZ}=(\Re z,\Im z)\) 表示，

但是，虚数的运算不完全遵守其直观的位置向量的运算，尤其是乘法。

模长幅角¶

有了上面的基础（以及图），我们容易定义，

\[ r=|z|=|\overrightarrow{OZ}|=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{\Re^2z+\Im^2z} \]

这就是复数的模，也称为绝对值。

于是，我们有计算方法，

\[ |zw|=|z||w| \]

\[ \left|{z\over w}\right|={|z|\over|w|} \]

以及三角形不等式，

\[ |z|-|w|\le|z+w|\le|z|+|w| \]

以及我们可以定义距离，

\[ \operatorname{dist}(z,w)=|z-w|=|w-z| \]

而幅角定义为位置向量与 \(x\) 轴的夹角，一般用 \(\varphi\) 表示。

幅角的具体计算方式略，通用公式比较复杂。

我们知道一个位置的角可以有无数种表示方向（\(+2\pi\)），而，

因此，定义辐角主值为，幅角的所有表示方式中，属于 \((-\pi,\pi]\) 的一个。

有时也用 \([0,2\pi)\) 来表示，以避免出现负数。

共轭复数¶

我们类似共轭根式的，定义共轭复数，

\[ a+bi,a-bi \]

互为共轭复数，记为 \(\overline z\)，可以用于分式化简（分母实数化），

\[ (a+bi)(a-bi)=a^2-(bi)^2=a^2+b^2 \]

于是，我们知道，共轭复数本质是关于实数轴的对称点。

有性质，

\[ \overline{z+w}=\overline z+\overline w \]

\[ \overline{zw}=\overline z\cdot\overline w \]

\[ \overline{\overline z}=z,|\overline z|=|z| \]

其中，\(\overline z=z\) 当且仅当 \(z\) 是实数。

几何解释¶

复平面的想法提供了一个复数的几何解释。

在加法下，类似向量相加，可以用三角形法则或平行四边形法则。

在乘法下，复数的成绩与向量乘法不同，它更加简洁的定义为，

乘积的模长是两个模长的乘积，乘积的辐角是两个辐角的和。

特别地，用一个模长为 \(1\) 的复数相乘即为一个旋转，最常见的，

乘以 \(1\) 相当于不变.
乘以 \(i\) 相当于逆时针旋转 \(90^\circ\).
乘以 \(-1\) 相当于逆时针旋转 \(180^\circ\).
乘以 \(-i\) 相当于逆时针旋转 \(270^\circ\)（顺时针 \(90^\circ\)）.

而上文已经说了，共轭根式本质是关于实数轴的对称点。

\(|z|=r\implies z\) 在复平面内对应点的集合是以原点为圆心，\(r\) 为半径的圆。

\(|z-z_1|=r\implies z\) 在复平面内对应点的集合是以 \(z_1\) 在复平面内的对应点为圆心，\(r\) 为半径的圆。

\(|z-z_1|=|z-z_2|\implies z\) 在复平面内对应点的集合是 \(Z_1,Z_2\) 为端点的线段的中垂线。
设复数 \(z_1,z_2,z_1+z_2\) 在复平面内对应点为 \(A,B,C\)，结合平面向量的基本运算。

\(|z_1+z_2|=|z_1-z_2|\implies\) 四边形 \(\text{OACB}\) 为矩形。

\(|z_1|=|z_2|\implies\) 四边形 \(\text{OACB}\) 为菱形。

\(|z_1|=|z_2|\) 且 \(|z_1+z_2|=|z_1-z_2|\implies\) 四边形 \(\text{OACB}\) 为正方形。

复数运算¶

CIS 函数¶

纯虚数指数函数，正如标题所说，记为，

\[ \operatorname{cis}x=\cos x+i\sin x \]

这个 \(\operatorname{cis}\) 函数（COSINE PLUS I SINE）主要的功能为简化某些数学表达式，使更简便地表达。

欧拉公式¶

经典公式，

\[ e^{ix}=\cos x+i\sin x \]

或者，

\[ e^{ix}=\operatorname{cis}x \]

取 \(x=\pi\) 时，即著名的欧拉恒等式，

\[ e^{i\pi}+1=0 \]

这公式可以说明当 \(x\) 为实数时，函数 \(e^{ix}\) 可在复数平面描述一单位圆。

欧拉公式则提供了，将负数从平面直角坐标系中，变换到极坐标系的理论。

但是我们不讨论极坐标系；我们可以得出两个经典公式，

\[ \sin x={e^{ix}-e^{-ix}\over 2i} \]

\[ \cos x={e^{ix}+e^{-ix}\over2} \]

下面更复杂的我们就不讨论了。

棣莫弗公式¶

也是一个经典公式，

\[ (\cos x+i\sin x)^n=\cos(nx)+i\sin(nx) \]

或者表示为，

\[ \operatorname{cis}^nx=\operatorname{cis}(nx) \]

在操作上，我们常常限制 \(x\in\mathbb R,n\in\mathbb Z\)，但是更复杂的也存在类似的公式。

最简单的检验方法是应用欧拉公式，

\[ \def\cis{\operatorname{cis}} \cis^nx=e^{inx}=\cis(nx) \]

复数与方程¶

二次方程¶

对于方程 \(ax^2+bx+c=0\)（\(a,b,c\in C,a\neq 0\)），配方得到：

\[ \left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2} \]

如果限定系数范围为 \(a,b,c\in R\)，那么

若 \(b^2-4ac>0\)，方程有两个不相等的实根；

\[ x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \]
若 \(b^2-4ac=0\)，方程有两个相等的实根；

\[ x=\frac{-b}{2a} \]
若 \(b^2-4ac<0\)，方程有两个共轭虚根：

\[ x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{4ac-b^2}\,i}{2a} \]

高次方程¶

代数基本定理：任何一元 \(n(n \in \mathbb{N}^*)\) 次复系数多项式方程 \(f(x)=0\) 至少有一个复数根。

设 \(a\) 为复数，\(f(x)\) 为复系数多项式，因式定理有：\(a\) 为 \(f(x)\) 的根当且仅当 \((x-a)\) 为 \(f(x)\) 的一个因式。

若正整数 \(k\) 满足 \((x-a)^k\) 为 \(f(x)\) 的因式，但 \((x-a)^{k+1}\) 不为 \(f(x)\) 的因式，则称 \(a\) 为 \(f(x)\) 的 \(k\) 重根。二重及以上的根称为重根。

这样，就能由上面两个定理得到推论：任何一元 \(n(n \in \mathbb{N}^*)\) 次复系数多项式方程 \(f(x)=0\) 都有 \(n\) 个复数根（重根按重数计，即把 \(k\) 重根当作 \(k\) 个根来计）。

把重根合到一起就得到唯一分解定理：任何一元 \(n(n \in \mathbb{N}^*)\) 次复系数多项式都可唯一地表示为

\[ f(x)=a\prod_{k=1}^m (x-a_k)^{f_k} \]

其中 \(a, a_1, \dots, a_m \in \mathbb{C}\)，\(f_1, f_2, \dots, f_m \in \mathbb{N}^*\)，满足 \(\sum_{k=1}^m f_k=n\)。

这样，设 \(f(x)=\sum_{k=0}^n a_k x^k (a_n \ne 0)\) 的根为 \(x_1, x_2, \dots, x_n\)，\(f(x)\) 就可以表示成：

\[ f(x)=a_n(x-x_1)(x-x_2)\cdots(x-x_n) \]

展开多项式就能得到韦达定理：

\[ \sum_{1\le i_1<i_2<\cdots<i_k\le n} x_{i_1} x_{i_2} \cdots x_{i_k} = (-1)^k \frac{a_{n-k}}{a_n}, k=1, 2, \dots, n \]

对于实系数多项式，即系数都是实数的多项式，有虚根成对定理：若复数 \(a\) 是实系数多项式 \(f(x)\) 的根，则 \(\bar{a}\) 也是 \(f(x)\) 的根。

这样，实系数多项式的根，除去实根以外，就都是成对的共轭复数。一元 \(n(n \in \mathbb{N}^*)\) 次实系数多项式就能在实数范围内分解为：

\[ f(x)=a \prod_{k=1}^s (x-a_k) \cdot \prod_{k=1}^t (x^2+b_k x+c_k) \]

其中 \(a, a_k, b_k, c_k \in \mathbb{R}\)，\(s+2t=n\)，且 \(c_k > 0\)，\(b_k^2 < 4c_k\)。