极限论¶

函数极限¶

初等函数¶

我们研究过常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数，它们经过有限次加、减、乘、除、乘方、开方和复合运算，得到的函数称为初等函数。初等函数是数学中最基本的一类函数，具有相当重要的性质。

极限定义​¶

对于函数 \(f(x)\) 与实数 \(a\)，如果存在实数 \(b\)，使得 \(\forall \varepsilon > 0\)，\(\exist \delta > 0\)，对任意 \(x \in (a - \delta, a) \cup (a, a + \delta)\)，有 \(|f(x) - b| < \varepsilon\)，则 \(b\) 称作 \(f(x)\) 在点 \(a\) 的极限，记作

这就是严格定义函数极限的 \(\varepsilon \text - \delta\) 语言。也就是说，对于任意 \(\varepsilon > 0\)，我们都能找到一段 包含 \(a\) 但是扣去 \(a\) 的区间，使得这个区间上对应的函数值与 \(b\) 的距离都小于 \(\varepsilon\)，就称函数在点 \(a\) 处的极限为 \(b\)。

可以证明，函数在某点存在极限，则这个极限唯一。

极限性质¶

唯一性：若函数 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 有极限，则极限唯一。

有界性：设函数 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 有极限，则 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 附近有界，即存在正数 \(M\) 和 \(\delta\)，使得只要 \(0<|x-x_0|<\delta\)，就有 \(|f(x)|\le M\)。若 \(a<l<b\)，则在 \(x_0\) 附近有 \(a<f(x)<b\)。

保序性：设 \(\lim_{x\to x_0} f(x)=l_1\)，\(\lim_{x\to x_0} g(x)=l_2\)，若在 \(x_0\) 附近有 \(f(x)\ge g(x)\)，则 \(l_1\ge l_2\)；若 \(l_1>l_2\)，则在 \(x_0\) 附近有 \(f(x)>g(x)\)。

四则运算：

除法应当 \(\lim\limits_{x \to a} g(x) \ne 0\) 时。

夹逼定理：设在 \(x_0\) 附近有 \(g(x)\le f(x)\le h(x)\)，且 \(\lim_{x\to x_0} g(x)=\lim_{x\to x_0} h(x)=l\)，则 \(\lim_{x\to x_0} f(x)=l\)。

极限应用¶

无穷小​¶

若 \(\lim\limits_{x \to a} f(x) = 0\)，称 \(f(x)\) 为 \(x \to a\) 时的无穷小。

根据上面的四则运算规则，可以得知：

• 若 \(f(x)\)，\(g(x)\) 都是 \(x \to a\) 时的无穷小，则 \(f(x) \pm g(x)\) 是 \(x \to a\) 时的无穷小。

• 若 \(f(x)\) 是 \(x \to a\) 时的无穷小，且 \(\lim\limits_{x \to a} g(x)\) 存在，则 \(f(x) \cdot g(x)\) 是 \(x \to a\) 时的无穷小。

但两个无穷小的商不能确定：运算法则规定了分母不能为无穷小。

设 \(f(x)\)，\(g(x)\) 为 \(x \to a\) 时的两个无穷小，且 \(g(x) \ne 0\)，当 \(\lim\limits_{x \to a} \dfrac{f(x)}{g(x)}\) 存在时，

• 若 \(\lim\limits_{x \to a} \dfrac{f(x)}{g(x)} = 0\)，则称当 \(x \to a\) 时，\(f(x)\) 是 \(g(x)\) 的高阶无穷小。

• 若 \(\lim\limits_{x \to a} \dfrac{f(x)}{g(x)} = b \ne 0\)，则称当 \(x \to a\) 时，\(f(x)\) 与 \(g(x)\) 是同阶无穷小。

特别地，当 \(b = 1\) 时，称当 \(x \to a\) 时，\(f(x)\) 与 \(g(x)\) 是等价无穷小，记作 \(f(x) \sim g(x)\quad(x \to a)\)。

等价无穷小替换公式：设 \(f(x) \sim F(x) \quad (x \to a)\)，\(g(x) \sim G(x) \quad (x \to a)\)，则

也即对一个分式求极限时，分子与分母可以替换为它的等价无穷小，而极限值不改变，这个规则称作等价无穷小替换规则。

一个最经典的等价无穷小是 \(x \sim \sin x \quad (x \to 0)\) 和它的推论 \(x \sim \sin x \sim \cos x \sim \tan x \quad (x \to 0)\)（证明从略）。

高中物理中一些公式的推导用到的，所谓「\(x\) 很小，将 \(\sin x\) 近似为 \(x\)」的原理，其实就是在做上面的等价无穷小替换。

连续性¶

我们曾用 \(\varepsilon\)－\(\delta\) 语言定义过连续性：设函数 \(f\) 在 \(x_0\) 附近有定义，如果对于任意的 \(\varepsilon>0\)，都存在 \(\delta>0\)，使得只要 \(|x-x_0|<\delta\)，就有 \(|f(x)-f(x_0)|<\varepsilon\)，那么称 \(f\) 在点 \(x_0\) 连续。

现在可以用极限写出更简洁的定义：设函数 \(f\) 在 \(x_0\) 附近有定义，如果 \(\lim_{x\to x_0} f(x)=f(x_0)\)，那么称 \(f\) 在点 \(x_0\) 连续。

如果函数在某一点不连续，那么称在这一点间断。如果函数 \(f\) 在开区间 \(I\) 的每一点连续，那么称函数 \(f\) 是开区间 \(I\) 上的连续函数。

函数 \(f\) 在点 \(x_0\) 连续当且仅当

与左右极限对应的左右连续概念为：如果 \(\lim_{x\to x_0^-}f(x)=f(x_0)\)，称 \(f\) 在 \(x_0\) 左连续；如果 \(\lim_{x\to x_0^+}f(x)=f(x_0)\)，称 \(f\) 在 \(x_0\) 右连续。

对于闭区间 \(I\) 上的函数 \(f\)，如果 \(f\) 在区间内每一点都连续，且在左端点右连续、右端点左连续，那么称函数 \(f\) 是闭区间 \(I\) 上的连续函数。

间断点¶

我们再来考虑间断点。间断点有三种情况：

1. 函数在某一点存在极限，即左右极限相等，但与函数值不相等，或者函数在这一点没有定义，即

   \[ \lim_{x\to x_0^-} f(x)=\lim_{x\to x_0^+} f(x)\ne f(x_0) \]

   这类间断点称为可去间断点。因为只要修改这一点，就能变为连续函数，例如

   \[ g(x)= \begin{cases} f(x) & x\ne x_0 \\ \lim_{x\to x_0} f(x) & x=x_0 \end{cases} \]

2. 函数在某一点的左右极限存在但不相等，即

   \[ \lim_{x\to x_0^-} f(x)\ne \lim_{x\to x_0^+} f(x) \]

   这类间断点称为跳跃间断点。因为函数在 \(x_0\) 处发生了

   \[ \left|\lim_{x\to x_0^-} f(x)-\lim_{x\to x_0^+} f(x)\right| \]

   的跳跃。可去间断点和跳跃间断点统称为第一类间断点。

3. 函数在某一点的左右极限至少有一个不存在。这类间断点称为第二类间断点。例如，对于狄利克雷函数

   \[ D(x)= \begin{cases} 1 & x\in \mathbb{Q} \\ 0 & x\in \mathbb{R}-\mathbb{Q} \end{cases} \]

   任意的 \(x_0\in \mathbb{R}\) 都是其第二类间断点。

连续函数的四则运算和复合函数具有连续性。设函数 \(f(x)\)、\(g(x)\) 在 \(x_0\) 连续，则 \(f(x)\pm g(x)\)、\(f(x)g(x)\)、\(\dfrac{f(x)}{g(x)}\)（\(g(x)\ne 0\)）也在 \(x_0\) 连续。

设函数 \(u=g(x)\) 在区间 \(I\) 有定义，\(y=f(u)\) 在区间 \(J\) 有定义，且 \(g(I)\subset J\)。若 \(g\) 在 \(x_0\in I\) 处连续，\(f\) 在 \(u_0=g(x_0)\) 处连续，则复合函数 \(f\circ g\) 在 \(x_0\) 处连续，即

此外，连续函数的反函数同样是连续函数。

连续函数还具有局部保号性：设函数 \(f\) 在 \(x_0\) 处连续，且 \(f(x_0)\ne 0\)，则存在 \(\delta>0\)，使得只要 \(0<|x-x_0|<\delta\)，就有 \(f(x)f(x_0)>0\)。

可以证明，所有初等函数在定义域上都处处连续。