导数入门¶

定义和计算¶

导数概念¶

如果函数 \(f(x)\) 在 \(x_{0}\) 的一个邻域 \((x_{0} - \delta, x_{0} + \delta)\) 有定义，且极限

\[ \boxed{\lim\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{f(x_{0} + \Delta x) - f(x_{0})}{\Delta x}} \]

存在，那么称这个极限为 \(f\) 在 \(x_{0}\) 的导数，记作 \(f'(x_{0})\) 或 \(\dfrac{\d f}{\d x}(x_{0})\)。此时称 \(f\) 在 \(x_{0}\) 可导。

如果函数 \(f(x)\) 在 \(x_{0}\) 的一个左邻域 \((x_{0} - \delta, x_{0}]\) 有定义，且极限

\[ \lim\limits_{\Delta x \to 0^{-}} \dfrac{f(x_{0} + \Delta x) - f(x_{0})}{\Delta x} \]

存在，那么称这个极限为 \(f\) 在 \(x_{0}\) 的左导数，记作 \(f'_{-}(x_{0})\)。

如果函数 \(f(x)\) 在 \(x_{0}\) 的一个右邻域 \([x_{0}, x_{0} + \delta)\) 有定义，且极限

\[ \lim\limits_{\Delta x \to 0^{+}} \dfrac{f(x_{0} + \Delta x) - f(x_{0})}{\Delta x} \]

存在，那么称这个极限为 \(f\) 在 \(x_{0}\) 的右导数，记作 \(f'_{+}(x_{0})\)。

函数在 \(x_{0}\) 可导的充要条件是它在 \(x_{0}\) 的左导数和右导数存在且相等，即 \(f\) 在点 \(x_{0}\) 连续。如果函数 \(f\) 在区间 \(I\) 内的每一点都可导，且在端点单侧可导，那么称 \(f\) 在区间 \(I\) 上可导。此时 \(x \mapsto f'(x), x \in I\) 确定了一个函数，称为 \(f\) 的导函数，简称导数，记作 \(f'(x)\) 或 \(\dfrac{\d f}{\d x}(x)\)。后一种符号由德国数学家莱布尼茨发明。

切线问题¶

观察曲线 \(y = f(x)\) 的图像。连接曲线上的两点 \((x_{0}, f(x_{0}))\) 和 \((x_{0} + \Delta x, f(x_{0} + \Delta x))\)，可以得到曲线的一条割线，其斜率

\[ k = \dfrac{f(x_{0} + \Delta x) - f(x_{0})}{\Delta x} \]

由于函数 \(f(x)\) 在 \(x_{0}\) 连续，当 \(\Delta x\) 趋于 \(0\) 时，割线趋于某条特定的直线，这条直线称为曲线在点 \((x_{0}, f(x_{0}))\) 的切线，其斜率

\[ k = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{f(x_{0} + \Delta x) - f(x_{0})}{\Delta x} \]

这就是导数的几何意义。通过点斜式可以写出切线的方程：\(y - f(x_{0}) = f'(x_{0}) (x - x_{0})\)。

注意，在求切线的题里，给定的点 \((a,b)\) 不一定在曲线上，如果不在曲线上，那么设出切点 \((x,f(x))\)，写出：

\[ f'(x)\cdot\dfrac{f(x)-b}{x-a}=-1 \]

若是两条曲线的公切线问题，则切线方程需要算两次，然后根据直线方程列出对应参数相等，例如：求曲线 \(f(x)=\ln x+2\) 与曲线 \(g(x)=\ln(x+1)\) 的公切线。

设公切线切 \(f\) 于点 \((x_1,\ln x_1+2)\)，则：

\[ y=\dfrac{1}{x_1}x+\ln x_1+1 \]
设公切线切 \(g\) 于点 \((x_2,\ln(x_2+1))\)，则：

\[ y=\dfrac{1}{x_2+1}x+\dfrac{1}{x_2+1}+\ln(x_2+1)-1 \]

因为这是一条直线，所以列出总方程：

\[ \begin{cases} \dfrac{1}{x_1}=\dfrac{1}{x_2+1}\\ \ln x_1+1=\dfrac{1}{x_2+1}+\ln(x_2+1)-1 \end{cases} \]

解得 \(x_1=\dfrac{1}{2}\)，带入可知 \(y=2x+1-\ln2\)。

一般地，求曲线的切线方程都是通过求导的方式。但是若曲线为二次函数，一般利用的是判别式方法，即联立两方程，若相切则方程只有一个解，用 \(\Delta=0\) 计算即可。

上面的写法可能有一些复杂，我们这里提供一个思路清晰的方法，我们将切线问题转化为一个点和一个斜率，设切点 \((x_1,y_1),(x_2,y_2)\)，列出：

点：\(y_1=f(x_1),y_2=g(x_2)\)。
斜：\(k=f'(x_1)=g'(x_2)\)。

这样就可以直接把问题转化为一个解方程了。

还有一个经典的问题，过某点有且仅有几条切线，可以直接列出方程，令其有且仅有几个解即可，注意此时应当注意移项除法是否为零。

导数的计算¶

极限法¶

极限法求导数，是最简单的方法，高中数学中需要求导的函数基本上都是连续的，我们无需考虑不连续的情况，因此我们设出一个 \(\Delta x\) 表示增量，用微分的思想，例如 \(f(x)=ax^2\)：

\[ \begin{aligned} \dfrac{\d f}{\d x}(x) &= \lim_{\Delta x\to 0} \dfrac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} \\ &= \lim_{\Delta x\to 0} \dfrac{a(x+\Delta x)^2-ax^2}{\Delta x} \\ &= \lim_{\Delta x\to 0} \dfrac{2a\Delta x+a(\Delta x)^2}{\Delta x} \\ &= \lim_{\Delta x\to 0} (2a+a\Delta x) \end{aligned} \]

我们知道，\(\Delta x\) 是趋近于 \(0\)，但是 \(0/0\) 没有意义，所以我们继续化简，化简到最后，我们的 \(a\Delta x\) 也是趋近于 \(0\) 的，因此就可以忽略了，即导函数：

\[ f'(x)=2a \]

通过一些多项式定理、三角恒等变换等，我们可以轻松得出下面的几个常用导数：

函数	导函数	函数	导函数
\(y=c\)	\(y'=0\)	\(y=x^n\)	\(y'=nx^{n-1}\)
\(y=a^x\)	\(y'=a^x\ln a\)	\(y=e^x\)	\(y'=e^x\)
\(y=\log_ax\)	\(y'=\dfrac{1}{x\ln a}\)	\(y=\ln x\)	\(y'=\dfrac{1}{x}\)
\(y=\sin x\)	\(y'=\cos x\)	\(y=\cos x\)	\(y'=-\sin x\)
\(y=\tan x\)	\(y'=\dfrac{1}{\cos^2x}\)	\(y=\cot x\)	\(y'=-\dfrac{1}{\sin^2x}\)

四则运算¶

导数的加减法则：

\[ \boxed{[f(x)\pm g(x)]'=f'(x)\pm g'(x)} \]

证明：

\[ \begin{aligned} [f(x)\pm g(x)]' &= \lim_{\Delta x\to 0} \dfrac{[f(x+\Delta x)\pm g(x+\Delta x)]-[f(x)\pm g(x)]}{\Delta x}\\ &= \lim_{\Delta x\to 0} \dfrac{[f(x+\Delta x)-f(x)]\pm [g(x+\Delta x)-g(x)]}{\Delta x}\\ &= \lim_{\Delta x\to 0} \dfrac{[f(x+\Delta x)-f(x)]}{\Delta x} \pm \dfrac{[g(x+\Delta x)-g(x)]}{\Delta x} \\ &= \lim_{\Delta x\to 0} f'(x)\pm g'(x) \end{aligned} \]

导数的乘法法则：

\[ \boxed{[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)} \]

同时，如果 \(g(x)=c\) 也就是说：

\[ \boxed{[cf(x)]'=cf'(x)} \]

导数的除法法则：

\[ \boxed{\left[\dfrac{f(x)}{g(x)}\right]'=\dfrac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^2(x)}} \]

可以由：

\[ \boxed{\left[\dfrac{1}{g(x)}\right]'=-\dfrac{g'(x)}{g^2(x)}} \]

推导得到，而上式可以通过复合函数，结合 \([x^{-1}]'=-x^{-2}\) 推导得到。

同时根据我们熟知的 \([e^x]'=e^x\)，利用导数的除法法则可以用于推导对数函数，另外还有正切函数的导数。

链式法则¶

容易知道：

\[ \boxed{\dfrac{\d y}{\d x}=\dfrac{\d y}{\d z}\cdot\dfrac{\d z}{\d x}} \]

此时，我们令 \(y=f[g(x)]\)，\(z=g(x)\)，那么：

\[ \dfrac{\d f(g(x))}{\d x}=\dfrac{\d f(g(x))}{\d g(x)}\cdot\dfrac{\d g(x)}{\d x} \]

也就是说：

\[ \boxed{(f\circ g)'(x)=f'(g(x))\cdot g'(x)} \]

这就是复合函数的导数，根据这个可以推导反函数求导：

\[ \dfrac{\d y}{\d x}\cdot\dfrac{\d x}{\d y}=1 \]

也就是说函数的导数与其反函数的导数互为倒数：

\[ \boxed{f'(x)\cdot(f^{-1})'(y)=1} \]

例如：

\[ \begin{aligned} [\arcsin x]'&=\dfrac{1}{(\sin y)'}=\dfrac{1}{\cos y}=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}\\ [\arccos x]'&=\dfrac{1}{(\cos y)'}=-\dfrac{1}{\sin y}=-\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}\\ [\arctan x]'&=\dfrac{1}{(\tan y)'}=\cos^2y=\dfrac{1}{x^2+1}\\ \end{aligned} \]

另外还有一种对数求导法：

\[ \boxed{[\ln h(x)]'=\frac{h'(x)}{h(x)}} \]

那么，也就是说：

\[ \boxed{h'(x)=h(x)[\ln h(x)]'} \]

这对于 \(h(x)\) 为幂函数、指数函数的求导非常有帮助，具体的：

\[ [a^x]'=a^x[\ln a^x]'=a^x[x\ln a]'=a^x\ln a \]

\[ [x^n]'=x^n[\ln x^n]'=x^n[n\ln x]'=x^n\dfrac{n}{x}=nx^{n-1} \]

高阶导数¶

设函数 \(f(x)\) 在区间 \(I\) 上有导数 \(f'(x)\)：

若 \(f'\) 在 \(I\) 上可导。其为二阶导数，记作 \(f''(x)\) 或 \(f^{(2)}(x)\) 或

\[ \dfrac{\mathrm{d}^{2} f}{\mathrm{d} x^{2}}(x) \]
如果二阶导数仍然可导，那么就有三阶导数 \(f'''(x)\) 或 \(f^{(3)}(x)\) 或

\[ \dfrac{\mathrm{d}^{3} f}{\mathrm{d} x^{3}}(x) \]
……
如果 \(f\) 的 \(n - 1\) 阶导数可导，那么称其导数为 \(f\) 的 \(n\) 阶导数

\[ \dfrac{\mathrm{d}^{n} f}{\mathrm{d} x^{n}}(x) \]

记作 \(f^{(n)}(x)\)。无限阶可导的函数称为光滑函数。

根据定义，不难得到两个函数和、差的高阶导数：

\[ \boxed{[f(x) \pm g(x)]^{(n)} = f^{(n)}(x) \pm g^{(n)}(x)} \]

对于两个函数乘积的高阶导数，则有莱布尼茨公式：

\[ \boxed{[f(x) g(x)]^{(n)} = \sum\limits_{k=0}^{n} \mathrm{C}_{n}^{k} f^{(k)}(x) g^{(n - k)}(x)} \]

证明由数学归纳法即可。

隐函数偏导¶

对于多元函数 \(z=F(x,y)\) 或更一般的 \(F(x,y,\dots)\)，我们研究其对某一个变量的变化率时，我们假装其他所有变量都是常数，然后像求普通导数一样，只对我们关心的那个变量求导，这就是偏导，为了与普通的导数 \(\d\) 区分，我们用一个新的符号 \(\partial\)，例如记函数 \(F\) 对 \(x\) 的偏导为 \(F_x\)，其计算方法为：

\[ \boxed{\begin{aligned} F_x=\dfrac{\partial F}{\partial x}(x,y)&=\lim_{\Delta x\to 0}\dfrac{F(x+\Delta x,y)-F(x,y)}{\Delta x}\\ F_y=\dfrac{\partial F}{\partial y}(x,y)&=\lim_{\Delta y\to 0}\dfrac{F(x,y+\Delta y)-F(x,y)}{\Delta y} \end{aligned}} \]

在计算偏导的时候，求对某个变量的偏导数时，就把其他所有变量都看作是常数，然后按照普通求导的方法计算即可，例如以 \(F(x,y)=x^2+3xy+y^3\) 为例：

\[ \begin{cases} F_x&=2x+3y\\ F_y&=3y^2+3x\\ \end{cases} \]

可以写成 \(y=f(x)\) 的称为显函数，而有些是由方程 \(F(x,y)=0\) 确定的，这种函数称为隐函数。隐函数求导的核心是，将 \(y\) 看成 \(f(x)\)，然后对等式两边关于 \(x\) 求导，此时应当使用链式法则。

例如对于一个关于 \(y\) 的式子 \(g(y)\)，其导数应当为 \(g'(y)\cdot y'\)，也就是说，我们对这个式子直接关于 \(y\) 求导之后，还要再乘上 \(y'\)，最后式子化为仅和 \(x,y,y'\) 有关的式子，用 \(x,y\) 表示 \(y'\) 即可。

例如，我们对 \(x^2+4y^2-16=0\) 求导，两边对 \(x\) 求导：

\[ 2x+8y\cdot y'=0 \]

也就是说：

\[ y'=-\dfrac{x}{4y} \]

此时，带入满足曲线方程上的点 \((x,y)\)，得到的即为该处的切线斜率。

另外，还可以通过求偏导的方式解决，我们容易求出：

\[ \begin{cases} F_x&=2x\\ F_y&=8y \end{cases} \]

那么，根据下面的式子：

\[ \boxed{\dfrac{\d y}{\d x}=-\dfrac{F_x}{F_y}} \]

也可以得出上面的导数，可以用于求曲线的切线方程。

洛必达法则¶

我们已经知道：

当 \(x\) 趋于 0 时，\(\ln x\) 趋于 \(-\infty\)；当 \(x\) 趋于 \(+\infty\) 时，\(\ln x\) 趋于 \(+\infty\)；
当 \(x\) 趋于 \(-\infty\) 时，\(e^x\) 趋于 0；当 \(x\) 趋于 \(+\infty\) 时，\(e^x\) 趋于 \(+\infty\)；
当 \(x > 0\) 且 \(x\) 趋于 0 时，\(\dfrac{1}{x}\) 趋于 \(+\infty\)；当 \(x < 0\) 且 \(x\) 趋于 0 时，\(\dfrac{1}{x}\) 趋于 \(-\infty\)。

而洛必达法则定义了更加复杂的分式型极限，若当 \(x\to a\)，有 \(f(x),g(x)\) 同时趋近于 \(0\) 或无穷，那么：

\[ \lim_{x\to a}\dfrac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\dfrac{f'(x)}{g'(x)} \]

例如当 \(x \to +\infty\) 时，分式函数

\[ f(x) = \frac{e^x}{x^2} \]

的分子 \(e^x \to +\infty\) 且分母 \(x^2 \to +\infty\)，则无法直接判断 \(f(x)\) 的取值趋势，利用洛必达法则可得

\[ \lim_{x\to +\infty} \frac{e^x}{x^2} = \lim_{x\to +\infty} \frac{e^x}{2x} \]

分子 \(e^x\) 和分母 \(2x\) 依然趋于正无穷，故再次利用洛必达法则可得

\[ \lim_{x\to +\infty} \frac{e^x}{2x} = \lim_{x\to +\infty} \frac{e^x}{2} = +\infty \]

注意：如果不是 \(\dfrac{0}{0}\) 型或者 \(\dfrac{\infty}{\infty}\) 型，则需要先变形使之成为 \(\dfrac{0}{0}\) 型或者 \(\dfrac{\infty}{\infty}\) 型。比如 \(0 \cdot \infty\) 型可以转化为 \(\dfrac{0}{\frac{1}{\infty}}\) 型或 \(\dfrac{+\infty}{\frac{1}{0}}\) 型。举个例子：当 \(x \to 0\) 时，\(x \ln x\) 中 \(x \to 0\)，\(\ln x \to -\infty\)，可将其变形为 \(x \ln x = \dfrac{\ln x}{\frac{1}{x}}\)，之后再用洛必达法则。

一定要注意洛必达法则的前提：分子和分母都趋于 \(0\) 或 \(\infty\)，否则洛必达失效！比如我们都知道

\[ \lim_{x\to +\infty} \frac{\sin x}{x} = 0 \]

但如果你用洛必达法则就会得到错误的结论：

\[ \lim_{x\to +\infty} \frac{\sin x}{x} = \lim_{x\to +\infty} \frac{\cos x}{1} = \text{不存在} \]

微分中值定理¶

罗尔中值定理¶

如果函数 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上连续，在开区间 \((a,b)\) 可导，若 \(f(a)=f(b)\)，则存在 \(\xi\in(a,b)\)，使得

\[ f'(\xi)=0 \]

证明：函数 \(f(x)\) 在闭区间 \([a,b]\) 一定可以取到最值，如果在开区间 \((a,b)\) 上一点 \(\xi\) 取到，那么 \(\xi\) 就是极值点，根据费马引理，\(f'(\xi)=0\)。如果最值只能在区间端点取到，因为 \(f(a)=f(b)\)，所以 \(f(x)\) 的最大值和最小值相等，\(f(x)\) 为常函数，其导数永远为零。

罗尔中值定理的几何意义是：如果函数两个端点的函数值相等，那么函数图像上至少有一点的切线平行于 \(x\) 轴。

达布中值定理¶

达布中值定理，也成为导数的介值定理，介值定理表明，对于定义在闭区间上的连续函数，任取端点值之间的任意值，在区间内一定存在某个点使得函数在此处取该值；等价地，闭区间上的连续函数可以取到最大值和最小值之间的任意值。

如果函数 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上连续，在开区间 \((a,b)\) 可导，假设 \(f'(a)<f'(b)\)，则对于任意 \(\eta\in(f'(a),f'(b))\)，都存在 \(\xi\in(a,b)\) 使得

\[ f'(\xi)=\eta \]

在闭区间 \([a,b]\) 上连续

直观含义：函数的图形从 \(x=a\) 到 \(x=b\) 是一条完整的、没有断裂的曲线。你可以用笔从头到尾把它画出来，而不需要抬起笔。

技术含义：
1. 函数在开区间 \((a,b)\) 内的每一点都连续。
2. 函数在两个端点 \(a\) 和 \(b\) 也是连续的。
这保证了函数在区间的边界处行为是“可预测的”，没有发生跳跃或丢失。
在开区间 \((a,b)\) 上可导

直观含义：函数的图形在 \(a\) 和 \(b\) 之间是光滑的，没有尖角或垂直的切线。在每一点，你都可以画出一条唯一的、非垂直的切线。

技术含义：对于 \((a,b)\) 内的每一点 \(x\)，导数 \(f(x)\) 都存在且是一个有限值。这代表了函数在每一点的瞬时变化率都是明确的。
经典例子：

考虑函数 \(f(x) = \sqrt{1-x^2}\)，它的图像是单位圆的上半部分，定义域为 \([-1,1]\)。

它在闭区间 \([-1,1]\) 上是连续的，它在开区间 \((-1, 1)\) 上是可导的。

但是在端点 \(x=-1\) 和 \(x=1\) 处，切线是垂直的，导数是无穷大，所以它在端点不可导。

这个函数满足“闭区间连续，开区间可导”的条件，因此所有基于这个条件的定理都对它适用。如果我们要求在闭区间 \([a,b]\) 上可导，那么像 \(f(x) = \sqrt{1-x^2}\) 这样的函数就会被排除在外，定理的普适性就降低了。

我们只需要函数在内部是光滑的，就可以研究它的变化趋势。我们允许它在端点处变得“不光滑”（例如出现垂直切线）。

当你看到“函数在闭区间 \([a,b]\) 上连续，在开区间 \((a,b)\) 上可导”这个条件时，你的脑海里应该立刻响起警铃：“中值定理要来了！”

拉格朗日中值定理¶

拉格朗日中值定理是罗尔中值定理的推广：如果函数 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上连续，在开区间 \((a,b)\) 可导，则存在 \(\xi\in(a,b)\)，使得：

\[ f'(\xi)=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a} \]

证明：令直线方程 \(g(x)\) 过 \((a,f(a)),(b,f(b))\) 两点，则函数

\[ g(x)=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)+f(a) \]

那么，令 \(F(x)=f(x)-g(x)\)，对 \(F(x)\) 使用罗尔中值定理，即可得到。

拉格朗日中值定理的几何意义是：函数图像上至少有一点的切线平行于函数两个端点的连线。

利用拉格朗日中值定理容易得到两个推论：

如果函数 \(f(x)\) 在区间 \(I\) 上可导，且对于任意 \(x\in I\) 都有 \(f'(x)=0\)，则 \(f(x)\) 在区间 \(I\) 上为常数。
如果函数 \(f,g\) 在区间 \(I\) 上可导，且对于任意 \(x\in I\) 都有 \(f'(x)=g'(x)\)，则 \(f,g\) 在区间 \(I\) 上相差一个常数。

柯西中值定理¶

柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广：如果函数 \(f,g\) 在闭区间 \([a,b]\) 上连续，在开区间 \((a,b)\) 上可导，且对任意 \(x\in(a,b)\) 都有 \(g'(x)\neq0\)，则存在 \(\xi\in(a,b)\)，使得

\[ \dfrac{f'(\xi)}{g'(\xi)}=\dfrac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} \]

拉格朗日中值定理是 \(g(x)=x\) 时的特殊情况，证明也类似的设：

\[ g(x)=\dfrac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}[g(x)-g(a)]+f(a) \]

应用罗尔中值定理即可得到。

柯西中值定理的几何意义是：用参数方程

\[ \begin{cases} x&=g(t)\\y&=f(t) \end{cases} \]

表示的曲线上至少有一点的切线平行于曲线两个端点的连线。

本页面最近更新：正在加载中，更新历史。
编辑页面：在 GitHub 上编辑此页！
本页面贡献者：RainPPR。