简单函数¶

函数的概念¶

定义¶

函数是一个定义域 \(A\) 到值域 \(B\) 的映射关系，函数的定义域和值域是一个集合，对于定义域内的每一个数，有且仅有值域内的一个数与之对应，记为 \(f:A\to B\)。

注意，定义域的是所有函数值的集合，是陪域的一个子集，严格来说函数是定义域到陪域的映射关系，只是陪域内的数，不一定是有效的函数值，只有值域内的数才是有效的函数值。

函数的定义域就是能使解析式有意义的所有实数勿的集合，自然定义域是式子本身所要求的定义域。
不要轻易对解析式进行化简变形，以免定义域发生变化。
当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分、且（若有）分式有意义的集合。

复合函数：如果 \(g\) 的值域为 \(f\) 的定义域的子集，那么定义 \(y=(f\circ g)(x)=f(g(x))\)。

解析式¶

已知函数 \(f\) 的一些关系式，求 \(f(x)\)，最常用的是换元法和变形法，例如：

\[ f(x+1)=x^2 \]

换元法，设 \(t=x+1\)，则：

\[ f(t)=(t-1)^2=t^2-2t+1 \]

如果给出多个 \(f\) 的值，且自变量有对称性，那么对称联立，例如给出上式：

\[ \begin{cases} 3f(x)+2f(-x)&=x+3\\ 3f(-x)+2f(x)&=-x+3 \end{cases} \]

类似的还有 \(x\) 与 \(1/x\) 等。

由多个子函数分段定义的函数称为分段函数，如绝对值函数：

\[ |x|=\begin{cases} x&x\ge0\\ -x&x<0 \end{cases} \]

分段函数的定义域是各段函数定义域的并集，值域是各段函数值域的并集。

符号函数是一种常用的分段函数：

\[ \op{sgn}x=\begin{cases} 1&x>0\\ 0&x=0\\ -1&x<0 \end{cases} \]

反函数¶

对于二元关系 \((f:X\rightarrow Y)\) 和 \((g:Y\rightarrow X)\)，若 \((\forall x\in X)\{g[f(x)]=x\}\) 且 \((\forall y\in Y)\{f[g(y)]=y\}\)，则称 \(g\) 为 \(f\) 的反函数，记为 \(f^{-1}\)。

设 \(f\) 表示一个函数，其定义域为 \(X\)、陪域为 \(Y\)，若存在一函数 \(g\)，其定义域为 \(Y\)、陪域为 \(X\)，且对于 \(x\in X\) 有 \(g(f(x))=x\)、对于任意 \(y\in Y\) 有 \(f(g(y))=y\)，则称 \(g\) 为 \(f\) 的反函数。

函数 \(f\) 的反函数记为 \(f^{-1}\)，注意此处的 \(-1\)（次方的写法）并不是 \(-1\) 次方，比如 \(\sin\) 的反函数 \(\arcsin\) 也记为 \(\sin^{-1}\)。

单调函数总是有反函数，并且反函数的单调性与原函数一致，原函数与反函数的图像关于函数 \(y=x\) 的图像对称。

水平线测试：

在数学里，水平线测试为一测试方法，用来判断一函数是否为单射、满射或双射。
设一带有图像的函数为 \(f:X\rightarrow Y\)，接着使用 \(X\times Y\) 上的水平线：

\[ y_0\in Y,\ \{\langle x,y_0\rangle\in f\mid x\in X\} \]

若函数为单射，则其图像绝不会和任何一条水平线相交超过一次。

若函数为满射，则每一水平线和图像至少相交一次。

若函数为双射，则每一水平线和图像相交于一点且只有一点。

求反函数：记 \(g\) 表示函数 \(f\) 的反函数，那么从图像的角度考虑，若 \(\langle x,y\rangle\in f\)，那么 \(\langle y,x\rangle\in g\)，因此，我们对于 \(y=f(x)=\dots x\)，只需要将 \(x,y\) 互换，得到的就是反函数的解析式。当然也不能写 \(x=\dots y\) 的形式，要化为 \(y=\dots x\) 的形式。

例题：求 \(f(x)=2x+1\) 的反函数。答案：有 \(y=f(x)=2x+1\)；交换 \(x,y\)，即 \(x=g(y)=2y+1\)；整理，得 \(y=g(y)=\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{2}\)。

初等函数¶

幂函数¶

形如 \(y=x^\alpha\)（通常认为 \(\alpha\neq0\)），有性质：

函数恒过 \((1,1)\) 点。
如果 \(\alpha>0\)，那么函数恒过 \((0,0)\).
如果 \(\alpha\in\Z^+\)，那么函数有奇偶性，与 \(\alpha\) 的奇偶性相同。
在 \((0,\infty)\) 上函数奇偶性与 \(\alpha\) 关于 \(1\) 的大小有关。

有幂的性质：

\[ a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}=\sqrt[n]{a}^m \]

其中 \(n,m\) 均为正数且不同奇偶。

\[ a^{-x}=\dfrac{1}{a^x} \]

这一条经常用于简化除法的求导，转化为乘法可以更方便。

\[ \sqrt{a\pm\sqrt{b}}=\sqrt{a+\sqrt{a^2-b}\over2}\pm\sqrt{a-\sqrt{a^2-b}\over2} \]

对于自然数 \(a,b\)，只有 \(a^2-b\) 是完全平方数的时候，才能开出来。

证明：我们设 \(\sqrt{a+\sqrt{b}}\) 化简完的结果是 \(\sqrt x+\sqrt y\)：

\[ \begin{aligned} \sqrt{a+\sqrt{b}}&=\sqrt x+\sqrt y\\ a+\sqrt{b}&=x+y+2\sqrt{xy} \end{aligned} \]

因为 \(a\) 外面没有根号，与 \(x+y\) 相对应：

\[ \left\{\begin{aligned} a&=x+y\\ \sqrt{b}&=2\sqrt{xy} \end{aligned}\right. \]

然后我们把下面的式子平方，可以写出方程组：

\[ \left\{\begin{aligned} x+y&=a\\ xy&={b\over4} \end{aligned}\right. \]

然后用公式：

\[ \left\{\begin{aligned} x+y&=a\\ x-y&=\sqrt{(x+y)^2-4xy}\\ &=\sqrt{a^2-b} \end{aligned}\right. \]

或者设 \(t\) 满足：

\[ \begin{aligned} (t-x)(t-y)&=0\\ t^2-(x+y)t+xy&=0 \end{aligned} \]

解这个方程，得到的 \(t\) 的两个根分别就是 \(x\) 和 \(y\)。

具体的：

\[ \begin{aligned} t^2-at+{b\over4}=0\\ t={a\pm\sqrt{a^2-b}\over2} \end{aligned} \]

解得：

\[ \left\{\begin{aligned} x&={a+\sqrt{a^2-b}\over2}\\ y&={a-\sqrt{a^2-b}\over2} \end{aligned}\right. \]

因此：

\[ \begin{aligned} &\sqrt{a+\sqrt{b}}=\sqrt x+\sqrt y\\ =\;&\sqrt{a+\sqrt{a^2-b}\over2}+\sqrt{a-\sqrt{a^2-b}\over2} \end{aligned} \]

减法同理。

指数函数¶

形如 \(y=f(x)=a^x\)（\(a>0\) 且 \(a\neq1\)），有性质：

恒过 \((0,1)\) 点。
满足 \(f(x)\cdot f(-x)=1\)。

指数函数非积非偶，换元常常先统一底数，例如：

\[ 4^x+2^{x+1}+3=(2^x)^2+2\cdot2^x+3 \]

指数函数中，有一种函数特别重要：

\[ f(x)=e^x \]

其中，\(e\) 是一个无理数，近似值为 \(2.71828\dots\)。

对数函数¶

若 \(a^x=n\)（\(a>0\) 且 \(a\neq1\)），则记 \(x=\log_an\)，其中 \(a\) 为底数，\(n\) 为真数。

\[ \begin{aligned} a^{\log_ax}&=x\\ \log_aa^x&=x \end{aligned} \]

因此：

\[ \begin{aligned} \log_a1&=0\\ \log_aa&=1\\ \end{aligned} \]

对数也有一些特殊记号，例如：

\[ \begin{aligned} \log_ex&=\ln x\\ \log_2x&=\operatorname{lb}x\\ \log_{10}x&=\lg x \end{aligned} \]

对数的运算法则与指数相对，如下：

\[ \begin{aligned} \log_axy&=\log_ax+\log_ay&&\qquad&a^xa^y&=a^{x+y}\\ \log_a\frac{x}{y}&=\log_ax-\log_ay&&\qquad&\frac{a^x}{a^y}&=a^{x-y}\\ \log_ax^y&=y\log_ax&&\qquad&(a^x)^y&=a^{xy}\\ \log_a\sqrt[y]x&=\frac{\log_ax}y&&\qquad&\sqrt[y]x&=x^\frac{1}{y} \end{aligned} \]

另外，还有换底公式，非常常用

\[ \begin{aligned} \log_ax&=\frac{\log_bx}{\log_ba}\\ \log_ax&=\frac{1}{\log_xa}\\ \log_{a^n}b&=\frac{\log_ab}{n} \end{aligned} \]

另外，还有：

\[ \begin{aligned} x^{\log_ay}&=y^{\log_ax}\\ \log_ab\log_bx&=\log_ax\\ \log_a\dfrac{1}{x}&=-\log_ax \end{aligned} \]

也就是说：

\[ \begin{aligned} \log_am\log_bn&=\log_bm\log_an\\ \dfrac nm\log_ab&=\log_{a^m}b^n=\log_ab^{\frac nm} \end{aligned} \]

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